2 . 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究．
(1)[观察猜想]
如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 　 　；

(2)[探究证明]
如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)[拓展延伸]
如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF²的值．

4 . 如图，四边形ABCD和四边形AEFC均为菱形，且．

(1)问题引入
如图1，点E、G分别为边AB、AD上两点，且，连接CF．
①BE、CF之间的数量关系为__________
②延长CF、BE交于点O，则__________；
(2)拓展探究
将图1中的菱形AEFG绕点A顺时针旋转得到图2，连接BE并延长交CF的延长线于点O，试探究BE与CF之间的数量关系，并求出的度数；
(3)问题解决
将图1中的菱形AEFG绕点A逆时针旋转60°得到图3，连接BE，CF，当，时，求CF的长．

6 . 【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在中，，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的延长线于点F，当时，试说明：；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到…，
（1）请接着完成剩下的说理过程：
【方法运用】
（2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为______（用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若，，，，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若，连接AE，已知，，，且，则边EF的长＝______．

9 . 【问题发现】

（1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．