3 . 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

   

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．

6 . 问题探究：
（1）在图1和图2中，ABCD，AD⊥BC于点O．
①如图1，若点O是BC的中点，AD＝6，BC＝8，则AD²＝____，BC²＝____，（AB+CD）²＝_____；
②如图2，AO：DO＝1：3，AO＝3，BO＝4，则AD²＝_____，BC²＝_____，（AB+CD）²＝_____；
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AD²，BC²，（AB+CD）²三者之间的关系．
归纳证明：
（3）请利用图2证明你发现的关系式；
应用结论：
（4）如图3，在矩形ABCD中，E，F两点均在AD边上，BE⊥CF交于G点，EF：BE＝1：4，CF＝3，BC＝4．求证：CG＝CD；
拓展应用：
（5）如图4，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD交AB于点E，交BD于点F，AE＝5，BD＝10，EC＝15，求BC的长．

8 .    

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

9 . 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．