2 . 如图①，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现
当时，＝　　．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
(3)问题解决
当旋转至A，D，E三点共线时，如图③，图④，直接写出线段的长．

4 . 【问题情境】如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于180°），连接，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【特例感知】
（1）①如图1，当时，则与的数量关系为__________；
（2）②如图2，当时，写出与的数量关系，请说明理由；
【尝试探究】
（3）如图3，写出与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由．
【拓展应用】
（4）如图4，当，且点B，E，F三点共线时，若，，请直接写出AF的长．

5 . 解答
(1)问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．

6 . 综合与探究

(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．

7 . 【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题：

（1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由．
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，，点E在边上，连接，F为延长线上一点，连接，，且的延长线垂直于，垂足为点H．
①求的值；
②求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若，，请你求出的长．

8 . 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．

【概念理解】
(1)如图1，四边形是和谐四边形，对角线与交于点，是和谐对角线，是和谐边．
①是________三角形．
②若，则________．
【问题探究】
(2)如图2，四边形是矩形，过点作交的延长线于点，连接交于点，，，是否存在实数，使得四边形是和谐四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
(3)如图3，四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边，，，请求出的值．

9 . 某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”．
   
【特例探究】
(1)如图，当，时，______，______；
如图，当，时，______，______；
【归纳证明】
(2)请你观察（）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论．
【拓展证明】
(3)如图，在中，，，、、分别是边、、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长．

10 . 综合与实践
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿解析到的位置；
第3步：延长交于点，则点为边的三等分点．

证明过程如下：连接， 正方形沿折叠，， 又（①），．设（个单位），， 是的中点，则，在中，可列方程：②________， 解得：，即是边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕．

【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是_______；②处的方程是_______；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）①如图3，将矩形纸片对折，使点A和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值．
②在边长为3的正方形中，点是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点．若，请直接写出的长．