1 . 问题情境：如图1，在矩形中，．E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．

猜想验证：
(1)填空：的长为 ___________．
(2)如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到，与交于点F，与交于点G．
①求的长；
②连接，则四边形是平行四边形吗？若是，予以证明；若不是，请说明理由．
拓展研究：
(3)如图3，将沿点B按逆时针方向旋转一定角度α（），分别交和于点M和点N．当时，分别求出的值和线段的长．

3 . 如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．

(1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是”“旋转位似图形”；
如图1，与互为“旋转位似图形”，
①若，，，则 ；
②若，，，则 ；
(2)知识运用：
如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．

5 . 数学课上，李老师出示了如下的题目．
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图．试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论．
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：____（填“”，“”或“”）．

(2)特例启发，解答题目．
解：题目中，与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）

(3)拓展结论，设计新题．
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）．

6 . （1）【问题发现】

如图①，在中，，，D为的中点．以为一边作正方形．点E恰好与点A重合，则与的数量关系为______；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，，．与的数量关系是否会发生变化？请仅就图②的情形给出证明；
（3）【问题解决】
当正方形旋转到B，E，F三点共线时，求线段的长．

9 . 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为P．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．
　　
(1)[特例探索]
如图1，当，时，______，______；
如图2，当，时，______，______．
(2)[归纳证明]
请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系．
(3)[拓展应用]
利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线中点，分别为线段，的中点，连接并延长交于点．分别交于点，如图4所示，求的值．