1 . 问题探究
（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接．
①请探究与之间的位置关系；
②若，则线段的长为_________．
   
拓展延伸
（2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接．当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段的长．

2 . 如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，

（1）问题发现的值为_______；
（2）探究与证明：将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为_______．

5 . 如图1，把两个相似比为的矩形ABCD与矩形CEFG拼成如图所示的图案．
（一）问题发现：
（1）请探究AC与CF的位置关系并证明．
（2）求的值．
（二）拓展应用：
如图2，在四边形ABCF中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CF＝10，AF＝5．

（1）求tan∠AFC；
（2）连接BF，求BF的长．

6 . 定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．如图①，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．
   
[定义应用]
（1）已知△ABC是倍角三角形，∠A＝60°．则这个三角形其余两个内角的度数分别为　　．
[性质探究]
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长分别为a，b，c．若∠A＝2∠B，且∠A＝60°，如图②，易得到a²＝b（b+c）．那么在任意的△ABC中，满足∠A＝2∠B，如图③，关系式a²＝b（b+c）是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
[拓展应用]
（3）若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形，求它的腰与底边之比．

7 . 探究：如图①，点A、点 D在直线BC上方，且 AB⊥BC，DC⊥BC．点E是线段BC上的点，AE⊥DE．求证：△ABE∽△ECD．
应用：如图①，在探究的条件下，若BE=2，CD=4，DE=6，求AE的长．
拓展：如图②，矩形ABCD中，AB=12，BC=8．将矩形ABCD翻折，使点A落在边 CD上的点E处，折痕为MN．若DE=DC，则BN = ________．

8 . 如图，在正方形ABCD中，DC=8，现将四边形BEGC沿折痕EG(G，E分别在DC，AB边上)折叠，其顶点B，C分别落在边AD上和边DC的上部，其对应点设为F，N点，且FN交DC于M．
特例体验：
(1)当FD=AF时，△FDM的周长是多少?
类比探究：
(2)当FD≠AF≠0时，△FDM的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．
拓展延伸：
(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF为x，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S，试用含x的代数式表示S，并问：当x为何值时，S=26?

9 . 定义：有一个角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”；如下图中的四边形和都是“嵌套四边形”．
【问题猜想】

（1）如图1，嵌套四边形和都是正方形，现把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，连接、交于点O，则与的数量关系是______，位置关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，将（1）中的嵌套四边形和换成菱形，，其它条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，将（1）中的嵌套四边形和换成长和宽之比为的矩形，旋转角换成，其它条件不变，求出与的数量关系和位置关系．

10 . 如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点重合，点在对角线上．

【问题发现】如图1所示，与的数量关系为________；
【类比探究】如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；
【拓展延伸】若点为的中点，且在正方形的旋转过程中，有点、、在一条直线上，直接写出此时线段的长度为________