1 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.

3 . 如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为，的面积为1，若过点的直线与相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：，，三点的横坐标，，满足关系式．

4 . 已知（e为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，求函数零点的个数；
(3)，，求实数的取值范围.

5 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.

6 . 已知函数在处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求的极值.

7 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，其中O为坐标原点，求证：的面积S是定值．

8 . 已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.

9 . 如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为.
(1)求的方程；
(2)若直线与的右支交于两点，且以线段为直径的圆与轴相切，求的值.

10 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为．
(1)求C的标准方程；
(2)过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A，B和点P，Q，记的中点分别为M，N，求证：直线过定点．