1 . 已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.

2 . 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明，对，均有.

4 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为．点在椭圆上，且满足△的周长为6．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
(1)求的方程．
(2)若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点、，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

6 . 已知函数.
(1)当时，证明：：
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围.

7 . 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围.

9 . 在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.

(1)证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；
(2)若曲线上一点，点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围.

10 . 已知函数.
(1)求的极大值；
(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.