1 . 在四面体中，，记四面体的内切球半径为．分别过点向其对面作垂线，垂足分别为．
(1)是否存在四个面都是直角三角形的四面体？（不用说明理由）
(2)若垂足恰为正三角形的中心，证明：；
(3)已知，证明：．

2 . 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.

3 . 2024年春耕期间，某农业局将含甲､乙在内的6位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去1个村庄，每个村庄至少有1人前去，且甲､乙不分配到同一个村庄，则不同的分配方法共有__________种.（用数字作答）

4 . 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（       ）

A．	B．
C．	D．

5 . 为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择.
方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；
方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.
已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二.
(1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；
(2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由.

6 . 某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数（单位：人）的数据如下表：

日期	2月15日	2月16日	2月17日	2月18日	2月19日
日期代号	1	2	3	4	5
购物人数	77	84	93	96	100

(1)根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）；
(2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表：

年龄	不低于40岁	低于40岁	合计
参与过网上购物	30		150
未参与过网上购物		30
合计			200

将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

7 . 当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例关系，可以设一个新的变量，这样与之间就是线性关系．下列表格中的数据可以用非线性方程进行拟合，

	1	2	3	4	5	6
	2.5	3.6	4.4	5.4	6.6	7.5

用线性回归的相关知识，可求得的值约为（     ）

A．2.98

B．2.88

C．2.78

D．2.68

8 . 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
（参考公式与数据：；；.）

9 . 下列有关函数的命题正确的是（        ）

A．已知函数满足，且，则

B．函数，若，则实数

C．满足对任意的都有成立，则

D．若的定义域是，则的定义域为

10 . 已知圆，则下列选项正确的是（       ）

A．的最小值为

B．直线与圆必相交

C．圆与圆相交，且公共弦长度为

D．光线由点射出，经轴反射后与圆相切于点，则从点到点的光线经过的总路程为