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解题方法
1 . 已知随机变量,且,则的展开式中的系数为( )
A.40 | B.120 | C.240 | D.280 |
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2 . “南澳牡蛎”是我国地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量x(人)与年收益增量y(万元)的数据如下:
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了y与x的两个回归模型:
模型①:由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程:;
模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线:的附近,对人工投入增量x做变换,令,则,且有,,,.(1)(i)根据所给的统计量,求模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1);
(ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16人时的年收益增量.
(2)根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大?
附:若随机变量,则,;
样本的最小二乘估计公式为:,,.
人工投入增量x(人) | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
年收益增量y(万元) | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
模型①:由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程:;
模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线:的附近,对人工投入增量x做变换,令,则,且有,,,.(1)(i)根据所给的统计量,求模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1);
(ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16人时的年收益增量.
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 | ||
182.4 | 79.2 |
(2)根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大?
附:若随机变量,则,;
样本的最小二乘估计公式为:,,.
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3 . 如图(1),在梯形中,,,点在边上,且四边形是正方形,现将正方形沿直线折起,使得平面平面,得到如图(2)所示的三棱锥.若是棱的中点,则( )
A. | B. | C. | D. |
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4 . 在三棱锥中,,且.记直线,与平面所成角分别为,,已知,当三棱锥的体积最小时,则三棱锥外接球的表面积为______ .
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5 . 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切,则实数的值为( )
A. | B.1 | C.3 | D.或3 |
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6 . 已知正的边长为1,中心为,过的动直线与边分别相交于点.(1)若,求.
(2)求与的面积之比的最小值.
(2)求与的面积之比的最小值.
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7 . 已知函数,角A为△ABC的内角,且.(1)求角A的大小;
(2)如图,若角A为锐角,,且△ABC的面积S为,点E、F为边AB上的三等分点,点D为边AC的中点,连接DF和EC交于点M,求线段AM的长.
(2)如图,若角A为锐角,,且△ABC的面积S为,点E、F为边AB上的三等分点,点D为边AC的中点,连接DF和EC交于点M,求线段AM的长.
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8 . 2024年道达尔能源—汤姆斯杯暨尤伯杯决赛中,中国队3∶0击败印度尼西亚队,夺得冠军.已知羽毛球比赛的单打规则是:若发球方胜,则发球方得1分,且继续在下一回合发球;若接球方胜,则接球方得1分,且成为下一回合发球方.现甲,乙二人进行羽毛球单打比赛,随机选取了以往甲,乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据,得到如下待完善的列联表:
(1)完成列联表,并判断是否有的把握认为比赛得分与接,发球有关;
(2)羽毛球,篮球,网球这三种运动项目深受大学生的喜欢.小明同学每周的星期六,星期天都进行体育锻炼,且两次锻炼均在这3种运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目,如果星期六选择羽毛球,则星期天选择羽毛球的概率为:如果星期六选择篮球,则星期天选择羽毛球的概率为;如果星期六选择网球,则星期天选择羽毛球的概率为.已知小明星期天选择羽毛球,求他星期六也选择羽毛球的概率.
(3)以列联表中甲,乙各自接,发球的得分频率分别作为每一回合中甲,乙各自接,发球的得分概率.已知:若随机变量服从两点分布,且,则.若第1回合是甲先发球,求甲、乙连续进行150回合比赛后,甲的总得分期望.
附:
参考公式:,其中.
甲得分 | 乙得分 | 总计 | |
甲发球 | 90 | ||
乙发球 | 120 | ||
总计 | 120 | 300 |
(2)羽毛球,篮球,网球这三种运动项目深受大学生的喜欢.小明同学每周的星期六,星期天都进行体育锻炼,且两次锻炼均在这3种运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目,如果星期六选择羽毛球,则星期天选择羽毛球的概率为:如果星期六选择篮球,则星期天选择羽毛球的概率为;如果星期六选择网球,则星期天选择羽毛球的概率为.已知小明星期天选择羽毛球,求他星期六也选择羽毛球的概率.
(3)以列联表中甲,乙各自接,发球的得分频率分别作为每一回合中甲,乙各自接,发球的得分概率.已知:若随机变量服从两点分布,且,则.若第1回合是甲先发球,求甲、乙连续进行150回合比赛后,甲的总得分期望.
附:
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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9 . 假设甲同学每次投篮命中的概率均为.
(1)若甲同学投篮4次,求恰好投中2次的概率.
(2)甲同学现有4次投篮机会,若连续投中2次,即停止投篮,否则投篮4次,求投篮次数的概率分布列及数学期望.
(3)提高投篮命中率,甲学决定参加投篮训练,训练计划如下:先投个球,若这个球都投进,则训练结束,否则额外再投个.试问为何值时,该同学投篮次数的期望值最大?
(1)若甲同学投篮4次,求恰好投中2次的概率.
(2)甲同学现有4次投篮机会,若连续投中2次,即停止投篮,否则投篮4次,求投篮次数的概率分布列及数学期望.
(3)提高投篮命中率,甲学决定参加投篮训练,训练计划如下:先投个球,若这个球都投进,则训练结束,否则额外再投个.试问为何值时,该同学投篮次数的期望值最大?
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10 . 若,则下列正确的是( )
A. | B. |
C. | D. |
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