1 . 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.

2 . 某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.
(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；
(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复.
（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）求甲第（，2，，16）天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.

3 . 设点是直线上的一个动点，为坐标原点，过点作轴的垂线．过点作直线的垂线交直线于.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过曲线上的一点（异于原点）作曲线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值.

4 . 正方形位于平面直角坐标系上，其中，，，．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）：逆时针旋转．（2）：顺时针旋转．（3）：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是，，，四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换之后，顶点从移动到，然后再作一次变换之后，移动到．对原来的正方形按，，，的顺序作次变换记为，其中，．如果经过次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是-恒等变换．例如，是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共________种；对于正整数，-恒等变换共________种．

5 . 若椭圆和椭圆的方程分别为和，则称椭圆和椭圆为相似椭圆.已知椭圆和椭圆是相似椭圆，下列说法正确的是（       ）

A．椭圆与椭圆的焦距相等

B．过椭圆上任意一点作椭圆的切线交于，则为线段中点

C．过椭圆上任意一点作直线交椭圆于两点，且，则面积为常数（其中为坐标原点）

D．直线与椭圆自下而上依次交于四点，则

6 . 若函数在上的值域是，则称是第类函数.
(1)若，是第类函数，求的取值范围；
(2)若，是第2类函数，求的值.

7 . 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数

(1)若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
(2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.

8 . 棱长均为1的正三棱锥中，分别是棱的中点，下列说法正确的是（       ）

A．	B．平面截正三棱锥所得截面的面积为
C．	D．异面直线和所成角的余弦值等于

9 . 已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：
①若数列各项单调递增，则首项
②若数列各项单调递减，则首项
③若数列各项单调递增，当时，
④若数列各项单调递增，当时，，
则以下说法正确的个数（       ）

A．4

B．3

C．2

D．1

10 . 设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（       ）

A．

B．

C．

D．