1 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫．欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公式:，其中表示虚数单位，是自然对数的底数．数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘，试回答下列问题：
(1)试证明欧拉公式．
(2)利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解．
①；②；
(3)求出角度的倍角公式(用表示，)．

2 . 在坐标平面内 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
(1)当 时，写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 (四舍五入取整).
(3)记方差 ，试证明 .

3 . 已知半径为球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则（       ）

A．有最大值，但无最小值	B．最大时，球心在正四面体外
C．最大时，同时取到最大值	D．有最小值，但无最大值

4 . 已知函数满足：，，，，，则（     ）

A．为奇函数	B．
C．方程有三个实根	D．在上单调递增

5 . 已知定义在上的函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围．

6 . 已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.

7 . 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱底面圆弧的两个三等分点，为圆柱的母线，点分别为线段上的动点，经过点的平面与线段交于点，以下结论正确的是（       ）
   

A．

B．若点与点重合，则直线过定点

C．若平面与平面所成角为，则的最大值为

D．若分别为线段的中点，则平面与圆柱侧面的公共点到平面距离的最小值为

8 . “牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3是以底面边长为的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（       ）

A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形

B．图2中阴影部分的面积为

C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为

D．由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”体积为

9 . 函数，则（       ）

A．，使得在上递减

B．，使得直线为曲线的切线

C．，使得既为的极大值也为的极小值

D．，使得在上有两个零点，且

10 . 蜜蜂是自然界的建筑大师，在18世纪初，法国数学家马拉尔迪指出，蜂巢是由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房（如图）构成，其中每个蜂房的底部都是由三个全等的菱形构成，每个菱形钝角的余弦值是，则（       ）

A．平面

B．

C．蜂房底部的三个菱形所在的平面两两垂直

D．该几何体的体积与以六边形为底面，以为高的正六棱柱的体积相等