2024·全国·模拟预测
1 . 甲、乙两名小朋友,每人手中各有3张龙年纪念卡片,其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色,乙手中的3张卡片都是金色的,现在两人各从自己的卡片中随机取1张,去与对方交换,重复次这样的操作,记甲手中银色纪念卡片张,恰有2张银色纪念卡片的概率为,恰有1张银色纪念卡片的概率为.
(1)求的值.
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张,求首次出现这种情况的概率.
(3)记.
(i)证明数列为等比数列,并求出的通项公式.
(ii)求的分布列及数学期望.(用表示)
(1)求的值.
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张,求首次出现这种情况的概率.
(3)记.
(i)证明数列为等比数列,并求出的通项公式.
(ii)求的分布列及数学期望.(用表示)
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名校
解题方法
2 . 已知直线和椭圆.
(1)证明:与恒有两个交点;
(2)若为与的两个交点,过原点且垂直于的直线交于两点,求的最小值.
(1)证明:与恒有两个交点;
(2)若为与的两个交点,过原点且垂直于的直线交于两点,求的最小值.
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3 . 如图,已知四边形是直角梯形,,平面是的中点,E是的中点,的面积为,四棱锥的体积为.(1)求证:平面;
(2)若P是线段上一动点,当二面角的大小为时,求的值.
(2)若P是线段上一动点,当二面角的大小为时,求的值.
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解题方法
4 . 用“夹逼法”可以估算,比如可以用如下操作估算:由于,所以,即在2和3之间;进一步,由于,且,所以在2.2和2.3之间;如法炮制,可以估算在2.23和2.24之间…….如此下去,可以估算不同精确度下的近似值,同时也可以确定与最接近的整数值.如果用表示最接近的正整数,则______ .
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5 . 对于任意实数,定义运算“”,则满足条件的实数的值可能为( )
A.,, |
B.,, |
C.,, |
D.,, |
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6 . 设有维向量,,称为向量和的内积,当,称向量和正交.设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合.
(1)若,写出一个向量,使得.
(2)令.若,证明:为偶数.
(3)若,是从中选出向量的个数的最大值,且选出的向量均满足,猜测的值,并给出一个实例.
(1)若,写出一个向量,使得.
(2)令.若,证明:为偶数.
(3)若,是从中选出向量的个数的最大值,且选出的向量均满足,猜测的值,并给出一个实例.
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解题方法
7 . “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线”.利用这个原理,小明在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆(图1),光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图2是一个射灯投影的直观图,圆锥的轴截面是等边三角形,椭圆所在平面为,则椭圆的离心率为( )
A. | B. | C. | D. |
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8 . 如图1,一圆形纸片的圆心为,半径为,以为中心作正六边形,以正六边形的各边为底边作等腰三角形,使其顶角的顶点恰好落在圆上,现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪,裁剪后的图形如图2所示,将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起,使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该正六棱台的高为,则其外接球的表面积为( )
A. | B. | C. | D. |
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9 . 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
已知集合A为有理数集Q的一个子集,且满足以下条件:
①且;
②对任意的,存在唯一的,满足,其中,表示不超过y的最大整数;
③若,,则.
证明:
(1);
(2)对任意的,对每一个整数,都有;
(3).
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
已知集合A为有理数集Q的一个子集,且满足以下条件:
①且;
②对任意的,存在唯一的,满足,其中,表示不超过y的最大整数;
③若,,则.
证明:
(1);
(2)对任意的,对每一个整数,都有;
(3).
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名校
解题方法
10 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一,如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题,如果不局限于尺规,三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法:已知角的顶点为,在的两边上截取,连接,在线段上取一点,使得,记的中点为,以为中心,为顶点作离心率为2的双曲线,以为圆心,为半径作圆,与双曲线左支交于点(射线在内部),则.在上述作法中,以为原点,直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,若,点在轴的上方.(1)求双曲线的方程;
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点,点到直线的距离为.
证明:①为定值;
②.
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点,点到直线的距离为.
证明:①为定值;
②.
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