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解题方法
1 . 记.
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数,均有.
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数,均有.
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2 . 已知椭圆的对称中心为坐标原点,焦点在轴上,的离心率为,且过点 , 等轴双曲线以的焦点、为顶点,动点在的右支上且异于顶点.(1)求与的方程;
(2)设直线、的斜率分别为、,直线与相交于点、,直线与相交于点、. 是否存在常数使得,若存在求出的值,若不存在,请说明理由.
(2)设直线、的斜率分别为、,直线与相交于点、,直线与相交于点、. 是否存在常数使得,若存在求出的值,若不存在,请说明理由.
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3 . 已知椭圆.
(1)已知的顶点均在椭圆上,若坐标原点为的重心,求点到直线PQ距离的最小值;
(2)已知定在椭圆上,直线(与轴不重合)与椭圆交于A、B两点,若直线AB,AN,BN的斜率均存在,且,证明:直线AB过定点(坐标用,表示).
(1)已知的顶点均在椭圆上,若坐标原点为的重心,求点到直线PQ距离的最小值;
(2)已知定在椭圆上,直线(与轴不重合)与椭圆交于A、B两点,若直线AB,AN,BN的斜率均存在,且,证明:直线AB过定点(坐标用,表示).
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4 . 如图,正方形的边长为,、分别为边、上的动点,,则( )
A.若,则的周长最大值为 |
B.若,则的面积最大值为 |
C.若的周长为定值,则的大小为 |
D.若的周长为定值,则长度的最小值为 |
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5 . 如图,在四棱锥中,平面,,底面为直角梯形,,,,是的中点,点,分别在线段与上,且,.(1)若平面平面,求、的值;
(2)若平面,求的最小值.
(2)若平面,求的最小值.
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6 . 已知函数,的定义域为,若函数是奇函数,函数是偶函数,,且.则下列结论正确的是( )
A.函数图像关于直线对称 |
B.函数为偶函数 |
C.4是函数的一个周期 |
D. |
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7 . 在直角坐标系xoy中,动圆M与圆外切,同时与圆内切,记圆心M的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)已知三点T,P,Q在E上,且直线TP与TQ的斜率之积为;
(i)求证:P,O,Q三点共线;
(ii)若,直线TQ交x轴于点A,交y轴于点B,求四边形OPAB面积的最大值.
(1)求E的方程;
(2)已知三点T,P,Q在E上,且直线TP与TQ的斜率之积为;
(i)求证:P,O,Q三点共线;
(ii)若,直线TQ交x轴于点A,交y轴于点B,求四边形OPAB面积的最大值.
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8 . 在直三棱柱中,是棱上一点,平面将直三棱柱分成体积相等的两部分.若四点均在球的球面上,则球的体积为__________ .
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9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点,离心率 为,直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆方程,平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线.
① 若在椭圆上,证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线;
② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线,切点为,割线交椭圆 于两点,过点分别作椭圆的两条切线,且相交于点. 证明: 三点共线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆方程,平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线.
① 若在椭圆上,证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线;
② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线,切点为,割线交椭圆 于两点,过点分别作椭圆的两条切线,且相交于点. 证明: 三点共线.
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10 . 若各项均为正数的数列满足(为常数),则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
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2024-06-13更新
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86次组卷
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2卷引用:2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷数学试题