1 . 一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，
，
分别为抛物线
的切线三角形和切点三角形，
为该抛物线的焦点．当直线
的斜率为
时，中点的纵坐标为
．
．
(2)若直线
过点，直线
分别与该抛物线的准线交于点
，记点的纵坐标分别为
，证明：
为定值．
(3)若
均不与坐标原点重合，证明：
，分别为抛物线的切线三角形和切点三角形，为该抛物线的焦点．当直线的斜率为时，中点的纵坐标为．
．(2)若直线
过点，直线分别与该抛物线的准线交于点，记点的纵坐标分别为，证明：为定值．(3)若
均不与坐标原点重合，证明：
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2 . 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：
，其中
为顶点数，
为棱数，
为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，
，可以得到顶点数
.
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：个顶点的凸多面体，至多有
条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：
个顶点的凸多面体，至多有条棱；(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
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3 . 已知函数
（
）．
(1)求
的单调区间；
(2)若函数
，
是函数
的两个零点，证明：
．
（）．(1)求
的单调区间；(2)若函数
，是函数的两个零点，证明：．
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4 . 已知函数
.
(1)当
时，求证：存在唯一的极大值点
，且
；
(2)若存在两个零点，记较小的零点为
，t是关于x的方程
的根，证明：
.
.(1)当
时，求证：存在唯一的极大值点，且；(2)若
存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.
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5 . 已知函数
，其中.
(1)当
时，
，求
的取值范围.
(2)若
，证明：
有三个零点，
，
（
），且，，成等比数列.
(3)证明：
（
）.
，其中.(1)当
时，，求的取值范围.(2)若
，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.(3)证明：
（）.
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解题方法
6 . 已知函数
.
(1)当时，证明：是增函数.
(2)若
恒成立，求的取值范围.
(3)证明：
（
，
）.
.(1)当
时，证明：是增函数.(2)若
恒成立，求的取值范围.(3)证明：
（，）.
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7 . 若函数在
上有定义，且对于任意不同的
，都有
，则称为上的“k类函数”．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若
为
上的“3类函数”，求实数a的取值范围．
在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”．已知函数．(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)求
的单调区间；(3)若
为上的“3类函数”，求实数a的取值范围．
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2024高三下·全国·专题练习
8 . 已知函数
，
时，
，则实数
的范围是__________ .
，时，，则实数的范围是
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9 . 已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)当
时，
，求
的最大值；
(3)若在区间
存在零点，求的取值范围.
.(1)当
时，证明：；(2)当
时，，求的最大值；(3)若
在区间存在零点，求的取值范围.
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，
给出的数列是著名的斐波那契数列：
，其中每一个数均称为斐波那契数.则斐波那契数列中
