1 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若为函数的极值点，求证：．

2 . 已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

3 . 已知函数.
(1)证明：，有；
(2)设（），讨论的单调性.

4 . 若函数和的图象均连续不断．和均在任意的区间上不恒为的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足，则称区间A为和的“区间”．
(1)写出和在上的一个区间”（无需证明）；
(2)若是和的“区间”，求的取值范围．

5 . 已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

6 . 已知函数，且．
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．

7 . 已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，，且.
(1)求的值，并证明：当时，；
(2)判断的单调性，并证明；
(3)若，求不等式的解集.

8 . 已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程，并证明：当时，恒成立；
(2)若有两个不同的实数根，且，证明：.

9 . 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．

10 . 已知双曲线的离心率是，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.