1 . 欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和.
(1)若数列，求数列的前项和；
(2)对互不相等的质数，证明：，并求的值.

2 . 设数列单调递增且各项均为正整数，数列满足，记数列的前项和为，数列的前n项和为．若存在正整数，使得，则称为数列的信息熵．
(1)已知存在正整数，满足，，2，…，，，
①求（用含的表达式表示）；
②证明：数列的信息熵小于2；
(2)请写出，，，四个表达式的大小关系，并说明理由．

3 . 在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，．
(1)证明：当取最小值时，；
(2)设，求的取值范围．

4 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义.
(1)若，求和；
(2)求 ；
(3)证明：

5 . 在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式.
(1)求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，；
(2)整数.定义数列.设e为自然对数的底数.
（i）求证：；
（ii）求证：.

6 . （1）如图1，在正方形中，点分别在边和上，于点，求证：．
（2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点，若，且，求与的长．

   

7 . 如图1，在菱形中，是边上的一点，过点作的平行线，过点作垂线，两线相交于点．

(1)求证：，
(2)求证：为等腰三角形；
(3)如图2，连接交于点，交于点，连接，
①求证：；
②若，求的值，写出推理过程（结果用含的代数式表示）

8 . 取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．
(1)直接写出和的值；
(2)设，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；
(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数的指数．

9 . 若数列只由个1和个0组成，且第一个1之前有偶数（可为零）个0，此后每两个相邻的1之间有奇数个0，则称数列为型布尔数列.
(1)写出所有的型布尔数列和所有的型布尔数列；
(2)记型布尔数列的总个数为；
①证明：，其中且；
②令，其中且，证明：.

10 . 已知圆交轴于两点，椭圆以为长轴，椭圆上有一动点，且的最小值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与分别平分直线与椭圆和圆的交线段，
①证明：存在实数使得恒成立，并求出实数的值；
②求直线与椭圆的交点构成的四边形面积的最大值.