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1 . 若函数有个零点,且从小到大排列依次为,定义如下:.已知函数(其中为实数).
(1)设是的导函数,试比较和的大小;
(2)若,求的取值范围;
(3)对任意正实数,证明:.
(1)设是的导函数,试比较和的大小;
(2)若,求的取值范围;
(3)对任意正实数,证明:.
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2 . 在伯努利试验中,每次试验中事件发生的概率为(称为成功的概率),重复该试验直到第一次成功时,进行的试验次数的分布列为,称随机变量服从参数为的几何分布,记作.
(1)求证:;
(2)设随机变量表示试验直至成功与失败都发生时试验已进行的次数,求的最小值;(参考公式:)
(3)设随机变量表示首次出现连续两次成功时所需的试验次数,求.
(1)求证:;
(2)设随机变量表示试验直至成功与失败都发生时试验已进行的次数,求的最小值;(参考公式:)
(3)设随机变量表示首次出现连续两次成功时所需的试验次数,求.
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解题方法
3 . 在某项投资过程中,本金为,进行了次投资后,资金为,每次投资的比例均为x(投入资金与该次投入前资金比值),投资利润率为r(所得利润与当次投入资金的比值,盈利为正,亏损为负)的概率为P,在实际问题中会有多种盈利可能(设有n种可能),记利润率为的概率为(其中),其中,由大数定律可知,当N足够大时,利润率是的次数为.
(1)假设第1次投资后的利润率为,投资后的资金记为,求与的关系式;
(2)当N足够大时,证明:(其中);
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中,记赢了的概率为,其利润率为;输了的概率为,其利润率为,求最大时x的值(用含有的代数式表达,其中).
(1)假设第1次投资后的利润率为,投资后的资金记为,求与的关系式;
(2)当N足够大时,证明:(其中);
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中,记赢了的概率为,其利润率为;输了的概率为,其利润率为,求最大时x的值(用含有的代数式表达,其中).
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4 . 已知抛物线的焦点为,过且倾斜角为的直线与交于,两点.直线,与相切,切点分别为,,,与轴的交点分别为,两点,且.
(1)求的方程;
(2)若点为上一动点(与,及坐标原点均不重合),直线与相切,切点为,与,的交点分别为,.记,的面积分别为,.
①请问:以,为直径的圆是否过定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由;
②证明:为定值.
(1)求的方程;
(2)若点为上一动点(与,及坐标原点均不重合),直线与相切,切点为,与,的交点分别为,.记,的面积分别为,.
①请问:以,为直径的圆是否过定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由;
②证明:为定值.
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解题方法
5 . 已知.
(1)求的单调区间和最值;
(2)定理:若函数在上可导,在上连续,则存在,使得.该定理称为“拉格朗日中值定理”,请利用该定理解决下面问题:
若,求证:.
(1)求的单调区间和最值;
(2)定理:若函数在上可导,在上连续,则存在,使得.该定理称为“拉格朗日中值定理”,请利用该定理解决下面问题:
若,求证:.
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6 . (1)已知各项均为正数的无穷数列满足:对于,都有,,求数列的通项公式;
(2)已知各项均为正数的无穷数列满足:对于,都有,其中为常数.
①若,,记,数列的前项和满足,求数列的通项公式:
②记,证明:数列中存在小于1的项.
(2)已知各项均为正数的无穷数列满足:对于,都有,其中为常数.
①若,,记,数列的前项和满足,求数列的通项公式:
②记,证明:数列中存在小于1的项.
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7 . 如图,矩形中,,,分别是矩形四条边的中点,设,,设直线与的交点在曲线上.(1)求曲线的方程;
(2)直线与曲线交于,两点,点在第一象限,点在第四象限,且满足直线与直线的斜率之积为,若点为曲线的左顶点,且满足,直线与交于,直线与交于.
①证明:为定值;
②是否存在常数,使得四边形的面积是面积的倍?若存在求出,若不存在说明理由.
(2)直线与曲线交于,两点,点在第一象限,点在第四象限,且满足直线与直线的斜率之积为,若点为曲线的左顶点,且满足,直线与交于,直线与交于.
①证明:为定值;
②是否存在常数,使得四边形的面积是面积的倍?若存在求出,若不存在说明理由.
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解题方法
8 . 曲率是曲线的重要性质,表征了曲线的“弯曲程度”,曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率,设曲线具有连续转动的切线,在点处的曲率,其中为的导函数,为的导函数,已知.
(1)时,求在极值点处的曲率;
(2)时,是否存在极值点,如存在,求出其极值点处的曲率;
(3),,当,曲率均为0时,自变量最小值分别为,,求证:.
(1)时,求在极值点处的曲率;
(2)时,是否存在极值点,如存在,求出其极值点处的曲率;
(3),,当,曲率均为0时,自变量最小值分别为,,求证:.
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2024-06-13更新
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223次组卷
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2卷引用:黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
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解题方法
9 . 已知函数.
(1)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知直线是曲线的两条切线,且直线的斜率之积为1.
(i)记为直线交点的横坐标,求证:;
(ii)若也与曲线相切,求的关系式并求出的取值范围.
(1)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知直线是曲线的两条切线,且直线的斜率之积为1.
(i)记为直线交点的横坐标,求证:;
(ii)若也与曲线相切,求的关系式并求出的取值范围.
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解题方法
10 . 已知是二维离散型随机变量,其中X、Y是两个相互独立的离散型随机变量,的分布列用表格表示如下:
(1)求和;
(2)“”表示在条件下的的取值,求“”的分布列;
(3)为的数学期望,为“”的分布的期望,证明:.
X | 0 | 3 | 6 |
0 | |||
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(1)求和;
(2)“”表示在条件下的的取值,求“”的分布列;
(3)为的数学期望,为“”的分布的期望,证明:.
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