1 . 一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)对于事件，当时，证明：；
(3)利用（2）中的结论，求第次都摸到红球的概率.

2 . 已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点.
(1)证明：三点共线；
(2)若，求直线的方程.

3 . 已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

4 . 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查，从全体学生中随机抽取男女各100名学生，经统计，抽查数据如下表：

性别	锻炼		合计
	经常	不经常
男生	60	40	100
女生	80	20	100
合计	140	60	200

(1)依据小概率值的独立性检验，分析性别与体育锻炼的经常性是否有关？
(2)为提高学生体育锻炼的积极性，学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中，按性别分层抽样随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组，并从这7名同学中选出3人担任宣传组长，记男生担任宣传组长的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
附：.（其中，为样本容量）

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

5 . 设点在曲线上，在曲线上，且满足，
(1)求的方程；
(2)点在上，过点的直线与的渐近线交于两点，且是的中点，求（为坐标原点）的面积；
(3)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线．

6 . 已知曲线在处的切线过点.
(1)试求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，.

7 . 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为的小球个数比为，且盒中2号球的个数为4.
(1)求取到异号球的概率；
(2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如下表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序.（猜对谜语的概率相互独立）

球号	1号球	3号球
答对概率	0.8	0.5
奖金	200	500

8 . 如图，在四棱锥中，平面平面.

   

(1)证明：平面；
(2)若到的距离为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.

9 . 会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为.
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望.

10 . 已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.