1 . 若数集中任意两个元素和的和或差,至少有一个属于该数集,我们就将这种数集称为“数集”.
(1)判断数集是否为“数集”;
(2)已知数集是“数集”,证明:
①;
②.
(3)已知数集是“数集”,现给数集添加个元素:,,,若数集仍是“数集”,证明:.
(1)判断数集是否为“数集”;
(2)已知数集是“数集”,证明:
①;
②.
(3)已知数集是“数集”,现给数集添加个元素:,,,若数集仍是“数集”,证明:.
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2 . 约数,又称因数.它的定义如下:若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称为的倍数,称为的约数.设正整数共有个正约数,即为.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若构成等比数列,求正整数;
(3)记,求证:.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若构成等比数列,求正整数;
(3)记,求证:.
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153次组卷
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15卷引用:专题06 数列
(已下线)专题06 数列北京市通州区2023届高三上学期期末数学试题北京市第五十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题北京市东城区第六十五中学2024届高三上学期12月月考数学试题湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷(已下线)高考数学冲刺押题卷02(2024新题型)(已下线)微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编(已下线)第四套 艺体生新高考全真模拟 (一模重组卷)湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(已下线)高二下学期第三次月考模拟卷(新题型)(范围:导数+选择性必修第三册)-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三下学期教学情况测试(二)数学试卷A广东省佛山市高明区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次大考数学试题福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷(已下线)第18题 数列与集合结合的新定义问题(高三备考9月刊)
名校
3 . 牛顿在《流数法》一书中,给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图,是函数的零点,牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数,在横坐标为的点处作的切线,则在处的切线与轴交点的横坐标是,同理在处的切线与轴交点的横坐标是,一直继续下去,得到数列.令.
(2)在(1)的条件下,当时,写出与的关系式(无需证明),并求数列的通项公式;
(3)令,已知是两个正实数,且,求证:.
(1)当时,用牛顿法求出方程的近似解;
(2)在(1)的条件下,当时,写出与的关系式(无需证明),并求数列的通项公式;
(3)令,已知是两个正实数,且,求证:.
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4 . 对于数列,定义:如果函数使得数列的前项和小于,则称数列是“控制数列”.
(1)设,证明:存在,使得等差数列是“控制数列”;
(2)设,判断数列是否为“控制数列”,并说明理由;
(3)仿照上述定义,我们还可以定义:如果存在实数使得数列的前项积小于,则称数列是“特控数列”.设,其中,证明:数列是“特控数列”.
(1)设,证明:存在,使得等差数列是“控制数列”;
(2)设,判断数列是否为“控制数列”,并说明理由;
(3)仿照上述定义,我们还可以定义:如果存在实数使得数列的前项积小于,则称数列是“特控数列”.设,其中,证明:数列是“特控数列”.
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2024-09-06更新
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314次组卷
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2卷引用:河北省承德市承德县第一中学等校2024-2025学年高三上学期摸底联考数学试题
5 . 已知抛物线的焦点为,准线为为坐标原点,是上一点,且到的距离为的面积为.
(1)求的方程;
(2)已知过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点.
(ⅰ)设直线分别与交于点,证明:;
(ⅱ)设与轴的交点为,线段的垂直平分线与轴交于点,则四点是否在同一个圆上?并说明理由.
(1)求的方程;
(2)已知过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点.
(ⅰ)设直线分别与交于点,证明:;
(ⅱ)设与轴的交点为,线段的垂直平分线与轴交于点,则四点是否在同一个圆上?并说明理由.
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2024-09-05更新
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166次组卷
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2卷引用:河北省卢龙县第二高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷
名校
解题方法
6 . 设集合,记中元素的个数为,数列的前项和为.
(1)求的值;
(2)当时,从中随机取出一个元素,求以为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率;
(3)求.
参考公式:.
(1)求的值;
(2)当时,从中随机取出一个元素,求以为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率;
(3)求.
参考公式:.
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2024-09-05更新
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124次组卷
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2卷引用:河北省卢龙县第二高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷
7 . 现有一组互不相同且从小到大排列的数据:,其中.为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记,作函数,使其图像为逐点依次连接点的折线.
(1)求和的值;
(2)设的斜率为,判断的大小关系;
(3)证明:当时,;
(1)求和的值;
(2)设的斜率为,判断的大小关系;
(3)证明:当时,;
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8 . 定义二元数,将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列.
(1)求;
(2)对于给定的,是否存在,使得,成等差数列?若存在求出满足的条件;若不存在,请说明理由;
(3)若,求.
(1)求;
(2)对于给定的,是否存在,使得,成等差数列?若存在求出满足的条件;若不存在,请说明理由;
(3)若,求.
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名校
解题方法
9 . 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”,即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点,托里拆利确定费马点的方法如下:
①当的三个内角均小于时,满足的点为费马点;
②当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题:
已知的内角所对的边分别为,点为的费马点,且.
(1)求;
(2)若,求的最大值;
(3)若,求实数的最小值.
①当的三个内角均小于时,满足的点为费马点;
②当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题:
已知的内角所对的边分别为,点为的费马点,且.
(1)求;
(2)若,求的最大值;
(3)若,求实数的最小值.
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2024-09-01更新
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380次组卷
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2卷引用:河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第一次综合素养测评数学试题
名校
10 . 已知函数.
(1)若方程有两解,求实数的取值范围;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)若方程有两解,求实数的取值范围;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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2024-08-19更新
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497次组卷
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3卷引用:河北省唐山市百师联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷