1 . 已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：
(3)若椭圆上点，求面积的取值范围.

2 . 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；
(2)当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)证明：

3 . 已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；
(2)若是的一个极值，求满足此条件的实数的值；
(3)若是方程的两个不相等的实数根，求证：.
（注：是的导函数）

4 . 设函数
(1)若，求极小值.
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，是函数的两个零点，且，求的最小值.

5 . 已知函数．
(1)若，求函数的单调性；
(2)若存在极值点，求实数的取值范围；
(3)若在处取得极值，证明：．

6 . 已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数在上的最小值；
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

7 . 已知函数是自然对数的底数．
(1)当时，求函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)若为整数，且当时，恒成立，求的最大值．

8 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)记，；求证：.

9 . 英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Inifinite Series）一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，具体做法如下：先在x轴找初始点，然后作在点处切线，切线与x轴交于点，再作在点处切线，切线与x轴交于点，再作在点处切线，以此类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．

(1)设函数，初始点，若按上述算法，求出的一个近似值（精确到0.1）；
(2)如图，设函数，初始点为，若按上述算法，求所得前n个三角形，，……，的面积和；

(3)设函数，令，且，若函数，，设曲线的一条切线方程为，证明：当时，．

10 . 已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.