1 . 设数列的前n项和为，且
(1)求；
(2)求数列的前 n项和.

2 . 在四棱锥中，平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成的角，M，N分别是AB，PC的中点.

(1)求证:平面PAD;
(2)二面角平面角的正切值.

3 . 如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点.

(1)求的值；
(2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置.

4 . 树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为.

(1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；
(2)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值.

5 . 已知函数，其中e为自然对数的底数．
(1)若函数在上有2个极值点，求a的取值范围；
(2)设函数，），证明：的所有零点之和大于．

6 . 在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，.

   

(1)证明：
(2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积.

7 . 如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.

图1                           图2

(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积的最大值.

8 . 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：

	物理方向	历史方向	总计
男生	13	a	23
女生	7	20	27
总计	b	c	50

(1)计算a，b，c的值；
(2)问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
附：，.

	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

9 . 郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：

组别（支出费用）
频数	3	8	11	41	20	8	5

(1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率；
(2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上；
（ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
附：若，则，.