1 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上.

(1)证明：；
(2)若AB的中点为N，求证：平面APD.

3 . 已知函数.
(1)证明：；
(2)若有两个不相等的实数根，求证：.

4 . 证明：（1）已知a，b，，，求证：
（2）已知a，b，，，求证：.

5 . 如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点．

(1)若为的中点，求证：平面平面；
(2)是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.

(1)证明: 平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

7 . （1）已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立．
（2）设函数，若不等式的解集非空，求的取值范围．

8 . 如图，在正方体中，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．

9 . 已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分．

10 . 已知函数，.
(1)用单调性的定义证明在上是单调减函数；
(2)若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.