1 . 如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.

(1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围.

2 . 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.

3 . 已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．

4 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

5 . 如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B分别在和上，修建的木栈道AB与道路，围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
   
(1)当为正三角形时求修建的木栈道AB与道路，围成的三角地块OAB面积；
(2)若的面积，求木栈道AB长；
(3)如图2，设，
①将木栈道AB的长度表示为的函数，并指定定义域；
②求木栈道AB的最小值．

6 . 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.

7 . 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.

（1）求b边的长度；
（2）求的面积；
（3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.

8 . 如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，为的角平分线，已知，，，点E，F分别为边，上的动点，线段交于点G，且的面积是面积的一半．

(1)求边的长度；
(2)当时，求的面积．

9 . 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.
(1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？
(2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；
(3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.

10 . 在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求sinC的值.