1 . 已知各项均为正数的数列
，
，且
.
(1)求的通项公式；
(2)若
，
的前n项和为
，证明：
.
，，且.(1)求
的通项公式；(2)若
，的前n项和为，证明：.
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2023-12-22更新
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315次组卷
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3卷引用：江西省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题
2 . 设数列的前
项和为，满足
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)数列满足
，若
，求实数
的最小值.
的前项和为，满足.(1)证明：数列
是等比数列；(2)数列
满足，若，求实数的最小值.
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名校
3 . 对于函数
，把
称为函数的一阶导，令
，则将
称为函数的二阶导，以此类推
得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用
表示.
(1)已知函数
，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在取
作为数列的首项，并将
作为数列的第
项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数
（
），数列
是
的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列
的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.(1)已知函数
，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.(2)现定义一个新的数列：在
取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”①若函数
（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
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2023-12-16更新
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801次组卷
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6卷引用：上海市嘉定区2024届高三上学期质量调研数学试题
上海市嘉定区2024届高三上学期质量调研数学试题上海市普陀区长征中学2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）广东番禺中学2023-2024学年高三第六次段考数学试题广东省广州市番禺中学2024届高三第六次段考数学试题（已下线）信息必刷卷05（上海专用）
名校
解题方法
4 . 设数列的前n项和为，对一切
，点
都在函数
图象上.
(1)求
，归纳数列的通项公式（不必证明）；
(2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
、
、
、
、
、
、
、
、
、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求
的值；
(3)设
为数列
的前n项积，若不等式
对一切
都成立，求a的取值范围.
的前n项和为，对一切，点都在函数图象上.(1)求
，归纳数列的通项公式（不必证明）；(2)将数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；(3)设
为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围.
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5 . 已知数列满足
，
．
(1)证明：数列
是等比数列．
(2)设
，对于任意的
，
恒成立，求
的取值范围．
满足，．(1)证明：数列
是等比数列．(2)设
，对于任意的，恒成立，求的取值范围．
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6 . 已知数列满足
，
.
(1)求的通项公式；
(2)记
，数列的前
项和为
，证明：
.
满足，.(1)求
的通项公式；(2)记
，数列的前项和为，证明：.
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名校
7 . 已知无穷数列满足
，其中
表示x，y中最大的数，
表示x，y中最小的数.
(1)当，
时，写出
的所有可能值；
(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
(3)若
，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有
？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.(1)当
，时，写出的所有可能值；(2)若数列
中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；(3)若
，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
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2023-05-05更新
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3725次组卷
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19卷引用：北京市朝阳区2023届高三二模数学试题
北京市朝阳区2023届高三二模数学试题北京卷专题18数列（解答题）北京一零一中学2024届高三上学期统考一数学试题北京市景山学校2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）北京市第四中学2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）北京市第四中学2024届高三上学期10月月考数学试题变式题16-21北京市东城区东直门中学2024届高三上学期期中数学试题（已下线）专题01 条件开放型【练】【北京版】2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题（二）（已下线）高三数学开学摸底考02（新考法，新高考七省地区专用）（已下线）【一题多变】取大取小 分类讨论广东省2024届高三数学新改革适应性训练二（九省联考题型）（已下线）数列新定义北京市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷（已下线）（新高考新结构）2024年高考数学模拟卷（二）上海市杨浦区复旦大学附属中学2024届高三下学期3月月考数学试题北京市顺义区第九中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题广东省云浮市云安区云安中学2024届高三下学期3月模拟考试数学试题北京市海淀实验中学2024届高三上学期10月月考数学试题
名校
8 . 已知数列的通项公式为
．
(1)判断数列的单调性，并证明你的结论；
(2)若数列中存在
的项，求的值．
的通项公式为．(1)判断数列
的单调性，并证明你的结论；(2)若数列
中存在的项，求的值．
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名校
9 . 设数列的前项和为．已知
．
(1)求证：数列为等差数列，并求出其通项公式；
(2)设
，又
对一切
恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知
为正整数且
，数列
共有
项，设
，又
，求的所有可取值．
的前项和为．已知．(1)求证：数列
为等差数列，并求出其通项公式；(2)设
，又对一切恒成立，求实数的取值范围；(3)已知
为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可取值．
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名校
10 . 已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件：
①和都是递增数列；
②中任意两个不同的项的和不是中的项.
则称被屏蔽，记作
.
(1)若
，
.
（i）判断是否成立，并说明理由；
（ii）判断
是否成立，并说明理由.
(2)设是首项为正偶数，公差是
的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得.如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由；
(3)设是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数
，存在正整数
，使得
.证明：存在数列，使得.
和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件：①
和都是递增数列；②
中任意两个不同的项的和不是中的项.则称
被屏蔽，记作.(1)若
，.（i）判断
是否成立，并说明理由；（ii）判断
是否成立，并说明理由.(2)设
是首项为正偶数，公差是的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得.如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由；(3)设
是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数，存在正整数，使得.证明：存在数列，使得.
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