1 . 如图，在正方形中，点P是线段延长线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，作直线交于点E．
       
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

2 . 在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧），点是射线上一个动点（不与点重合），点在线段上，且．
   
(1)如图1，当点与点重合时，在图中画出线段，若，则的长为______（用含的式子表示）；
(2)如图2，当点与点不重合时，连接．
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

3 . 如图，在中，，点关于直线的对称点为点，点是射线上一动点（不与点重合），点在线段上（不与、两点重合），且．
   
(1)证明：；
(2)连接，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．

4 . 如图，在中，，点D在上，过点D作于点E，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接．

(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)交于点G，用等式表示线段和的数量关系，并证明．

5 . 如图，在边长为3的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P，连接，线段长的最小值为______．
   

6 . 在等腰中，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），连接，作等腰，使，，点，在直线两旁，连接．

(1)如图1，当时，直接写出与的位置关系；
(2)如图2，当时，过点作于点F．
①若点F在线段的延长线上时，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
②若点F在线段上时，直接写出线段，，之间的数量关系．

7 . 在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接．

(1)如图1，当时，则______；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为______，并证明．

8 . 如图，是线段上一点，在线段的同侧作正方形和正方形，连接AF，CD．判断与的关系并证明你的结论．
   

9 . 问题背景：（1）如图1，和都是等腰直角三角形，点在上，连，求证：；
迁移运用：（2）如图2，在中，，，点在外，，，，求的长；
拓展提升：（3）如图3，在等腰中，，，点、在外，，，直接写出线段、、之间的关系．
   

10 . 如图，中，，，点在的延长线上，连接，以为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，．

   
(1)依题意补全图形，并证明；
(2)求证：；
(3)取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．