1 . 如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接，，．则和的数量关系为______；在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值为______．

2 . 如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为6，则的最小值为__________．

3 . 如图，弧所对圆心角，半径为8，点C是中点，点D弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 ____________________．
   

4 . 在和中，，直线与交于点．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若，写出与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，若，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）．

5 . 在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
(3)若，，求的长．

7 . 阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出       ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值．

8 . 如图，在等腰直角中，，，点D、E分别在边、上（不与点A、B、C重合），连接、，有．

(1)证明：．
(2)若，当是等腰三角形时，求的长．

9 . 如图，有两个同心半圆和半圆，其中半圆固定不动，半圆绕圆心O沿顺时针方向转动一周，连接、，转动过程中，半圆与线段的交点记为点H，若．

(1)求证：；
(2)在转动过程中，求面积的最大值；
(3)当与半圆相切时，求弧的长．

10 . 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

图1                           图2                            图3

(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．