1 . 如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值________．
   

2 . 如图，点D在的垂直平分线上，，若，则______度．

3 . 如图，在中，，是的平分线．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值为___________．

4 . 如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为___________．

5 . 如图，在等腰三角形中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接、．
   
(1)求证：；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由．

6 . 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，直接写出的长为______．

7 . 如图1，矩形中，点在上，连接，作分别交于，于．
   
(1)若，，求的长；
(2)如图2，取的中点，连接交于，若．
①求证：；
②求证：．

9 . 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
   
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：      ；中线的取值范围是      
(2)【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．

10 . 如图，已知垂直平分线段，点是线段延长线上的一点，且，连接，过点作于点，交的延长线于点．

(1)______；（用含的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若，求的面积．