1 . 如图①是少年宫科技发明小组制作的一个钟表，钟面的大小会随时间的变化而发生改变，钟表底座为两根金属滑槽 和，且交于点，钟面由若干个形如菱形的可活动木条组成，指针绕点转动，菱形的顶点点 与点 用连杆连接．如图②，为 点的运动轨迹，与 交于点，连接，当与相切时，点，，恰好在同一条直线上．请仅就图②的情形解答下列问题：

   

(1)求证 ；
(2)若，，，求的长．

2 . 综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动．
[问题情景]
如图1：在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F．

[初步感知]
（1）当时．四边形的形状为________．周长为________（直接写出答案）．
[深入探究]
（2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图1判定四边形是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形的周长（用含α的代数式表示）．
[拓展提升]
（3）在[问题情景]的条件下，连接，当是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此时的长度．

3 . 《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题：
已知，如图所示，及外一点P．

(1)按要求完成作图步骤并准确标注字母，
尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接．
(2)请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由
(3)设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长．

4 . 如图，矩形，边，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长为_______．

5 . 如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为________．

6 . 如图1，在正方形中，点是对角线上一动点，点是的中点．设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为（       ）

       图（1）              图（2）

A．

B．

C．2

D．

7 . 如图，的直径，切于点，连接交于点，连接．

(1)取的中点，连接．当的度数为________时，四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．

8 . 一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴上取一点C，使是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为________．

9 . 在坡度为的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点在斜坡上，，从点向右发射出的小球沿抛物线运动，解决下列问题．

(1)点的坐标是__________；
(2)①求所满足的数量关系；
②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为__________．