1 . 【判断】如图1，连接， ______．（，，）
【问题解决】
如图2，在平面直角坐标系中，，，直线：，连接，，求的最大值；
【拓展应用】
学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度，请你协助小明完成计算，直接写出答案．

2 . 如图，是的直径，过点作的切线，点E是⊙O上一点，，延长与的延长线交于点，．

(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．

3 . 如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点，若是的中点，则的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

4 . 【背景呈现】
如图，点O是等边内的一点，连接，有，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接．
【问题发现】（1）由题意可知，的形状为        ；
【初步探究】（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
【深入拓展】（3）若，求的长．

5 . 要测一个残损圆形轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点，交劣弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（     ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为______．

7 . 如图，在中，，为边上一点，已知过点且经过边上的点，．连接并延长，交于点，连接．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．

8 . 对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点O，以O为圆心，线段为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则的长为__________．

       

9 . 如图，已知、分别是的角平分线和中线，且，垂足为，为的中点，连接，若，则的长为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

10 . 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动绕圆心O转动，当连杆恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记与的另一个交点为C，过点B作交直线l于点D，发现恰好平分．

(1)求证：直线l与相切；
(2)若，，求的半径．