1 . 如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________．

   

2 . 已知：的半径，过点A作，在上截取，连结，的外接圆，交于点C，连．
   
(1)请在图中作出线段并求的半径，（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．
(2)求证：垂直平分线段．

4 . 【问题初探】：（1）如图①，在中，点、分别在边、上，连接，∥，．若，则的长为______；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形中，点是上一动点，连接，，，，求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中∥，米．点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接，，与交于点，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．

7 . 如图1，已知，在射线上分别截取点B、C，使．

(1)求证：；
(2)如图2，以为直径在的上方作一个半圆，点D为半圆上的一个动点，连接交于点E．
①当时，求的长．
②在线段上取一点F，连接交于点G，若，当点D在半圆上从点B运动到点C时，求点G经过的路径长．