1 . 在四棱锥中，平面，，，，为的中点，在平面内作于点.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.

2 . 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．

3 . 如图，在平面四边形中，，，，将沿翻折，使点D到达点S的位置，且平面平面．

(1)证明；
(2)若E为的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小．

4 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．
(1)以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C（即图1中M点的轨迹）的标准方程．
(2)如图3，若直线m：与椭圆C相切于点P，斜率为的直线n与椭圆C分别交于点A，B（异于点P），与直线m交于点Q．证明：，，成等比数列．

5 . 设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．

6 . 如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．

(1)证明：平面平面.
(2)若为的中点，求二面角的余弦值.

7 . 如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且异面直线与所成角的正切值为．

（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．

8 . 已知多边形是边长为2的正六边形，沿对角线将平面折起，使得.

（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆过点，焦距长，一直线交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为轴上一点且=，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

10 . 在正方体中，点、分别在、上，且，．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．