1 . 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.

2 . 已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．
(1)求的标准方程；
(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．

3 . 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.

(1)证明：面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.

4 . 已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.

5 . 已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点，
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率记为，求的值；
(3)若，直线与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

6 . 设全集，集合，集合．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．

7 . 如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右顶点的距离为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆相交于点A，B．

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线分别与椭圆相交于另一个交点为点P，M．求证：直线经过定点．

8 . 设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的坐标为，则有最小值.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的，斜率分别为，求的值.

9 . 已知椭圆，焦距为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设，是椭圆的左、右顶点，为直线上的动点，直线，分别交椭圆于M，N两点，求四边形面积的最大值．

10 . 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，平面平面，，四棱锥的体积为.

(1)求长；
(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.