1 . ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.

   

(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：
(2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？

	青年	非青年	合计
喜欢		20
不喜欢	60
合计			200

（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：

	0.100	0.050	0.010
	2.706	3.841	6.635

2 . 已知甲组数据为：1，1，3，3， 5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（       ）

A．这两组数据的第80百分位数相等

B．这两组数据的极差相等

C．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变

D．甲组数据比乙组数据分散

3 . 生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（       ）

A．3月5日或3月16日	B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日	D．3月8日或3月13日

4 . 若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.

5 . 直四棱柱，所有棱长都相等，且，为的中点，为四边形内一点（包括边界），下列结论正确的是（       ）

A．平面截四棱柱的截面为直角梯形

B．面

C．平面内存在点，使得

D．

6 . 函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是__________.
①既不是奇函数也不是偶函数；
②的最小正周期为4；
③在上单调递减；
④是的一个最大值；
⑤.

7 . 如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（       ）
   

A．

B．

C．

D．

8 . 给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设向量的伴随函数为，若，且，求的值；
(2)已知，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 某公园有一块长方形空地ABCD，如图，，．为迎接“五一”观光游，在边界BC上选择中点E，分别在边界AB、CD上取M、N两点，现将三角形地块MEN修建为花圃，并修建观赏小径EM，EN，MN，且．

(1)当时，求花圃的面积；
(2)求观赏小径EM与EN长度和的取值范围．

10 . 已知，.
(1)函数有且仅有一个零点，求的取值范围.
(2)当时，证明：（其中），使得.