1 . 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．

   

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．

2 . 设函数，若有三个零点，则的取值范围是______．

3 . ，与直线平行，则直线与的距离为___________.

4 . 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（     ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)记直线的斜率分别为，证明：是定值；
(3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值．

6 . 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：

年龄	周平均锻炼时长		合计
	周平均锻炼时间少于4小时	周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下	40	60	100
50岁以上（含50）	25	75	100
合计	65	135	200

(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

参考公式及数据：，其中.

7 . 已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________.

8 . 经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
(1)求证：；
(2)求的面积的取值范围.
（参考结论：点是椭圆外一点，过P作该椭圆的两条切线，切点为A,B，则直线AB的方程为.）

9 . 如图，四边形为正方形，平面，记三棱锥的体积分别为，则（       ）

       

A．

B．

C．

D．

10 . 若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围______________________．