1 . 如图，直三棱柱中，，点在线段上，且，．

(1)证明：点为的重心；
(2)若，求二面角的余弦值．

2 . 已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)设函数的导函数为，若（），证明：．

3 . 已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设函数的导函数为，若，证明：．

4 . 如图，在正方体中，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．

5 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，当有两个极值点，时，总有成立，证明：.

6 . 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立.
(1)求的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)当时，解关于x的不等式.

7 . 已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆，动点在椭圆上，直线的斜率分别为，且．
（ⅰ）证明：三点共线；
（ⅱ）求外接圆直径的最大值．

8 . 已知函数（）.
(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；
(2)证明：当时，.

9 . 已知函数在点处的切线方程是.
(1)记的导函数为，求的最大值；
(2)如果，且，求证.

10 . 已知函数（）．
(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；
(2)证明：当时，．