1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

2 . 已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

3 . 如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点.

(1)求证：、、、四点共面；
(2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积.

4 . 已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．

5 . 如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，.

(1)求直三棱柱的体积；
(2)求证：面；
(3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离.

7 . 如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，.

(1)证明：；
(2)已知平面平面，，求四棱锥的体积.

8 . 已知函数.
(1)若函数在处切线的斜率为，求实数的值；
(2)当时，恒成立，求实数的最大值；
(3)当时，证明：

9 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性，并求的极值；
(2)若函数有两个不同的零点（），证明：.

10 . 已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)①求证：有且仅有一个极值点；
②当时，设的极值点为，若．
求证：．