1 . 如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．

（1）求证：；
（2）当平面时，若三棱锥的体积为，求值．

2 . （1）已知，求证；
（2）已知，求证中至少有一个大于1.

3 . 已知点在圆上运动，动点满足以下条件：①以为直径的圆过原点；②过点且与直线相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，，过点的直线交于，两点，求证：.

4 . 设函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ae^x（a∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线也与曲线y＝g（x）相切，求a的值．
（2）若函数G（x）＝f（x）﹣g（x）存在两个极值点．
①求a的取值范围；
②当ae²≥2时，证明：G（x）＜0．

5 . 某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一．

（1）当圆弧E₂F₂（包括端点）上的点P与B₁的最短距离为5时，证明：DB₁⊥平面D₂EF．
（2）若D₁D₂＝3．当点P在圆弧E₂E₂（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A₁C₁﹣B₁的正切值的取值范围．

6 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF₁⊥F₁F₂时，|PF₂|＝2|PF₁|．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．

7 . 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：.

8 . 设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

9 . 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：函数的图象在轴上方.

10 . （1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．