1 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接并延长交C于M，求证：.

2 . 在如图所示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形是平行四边形，四边形直角梯形，，，.

（1）求证：面.
（2）若，与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.

3 . 已知函数，．
（1）求在区间上的极值点；
（2）证明：恰有3个零点．

4 . 已知动圆过点(2，0)，被轴截得的弦长为4.
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2） 若为轴的负半轴上任意一点，点的坐标为为轨迹上任意一点，且，求证：直线与抛物线有且只有一个公共点．

5 . 已知各项都是正数的数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，，数列的前项和，求证：；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

6 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，为函数的两个极值点，且，为函数的两个零点，.求证：当时，.

7 . 已知函数，是的导函数，且有两个零点.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求证：.

8 . 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列、的通项公式；
（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

9 . 已知函数．
（1）证明为奇函数；
（2）判断的单调性并写出证明过程；
（3）当时，关于的方程在区间上有唯一实数解，求的取值范围．

10 . 已知函数，.
（1）若，求证：有且只有两个零点；
（2）有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数m的取值范围.