1 . （多选）若正整数数列：，，…，（）满足：若对任意的正整数k（），都有，则称该数列为“数列”.下列关于“数列”的说法中正确的有（       ）

A．若数列8，x，4，y，8为“数列”，则有序数组有3个

B．若数列1，m，n，8为“数列”，则的最大值为6

C．若数列，，…，（）为“数列”，则使的n的最大值为16

D．若数列，，…，（）为“数列”，且，则满足的n的最大值为10

2 . 如图，一张圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线相交于点，当点在圆上运动时，得到点的轨迹，记为曲线．建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在上．

(1)求的方程；
(2)不过点的直线交于，两点，且，求的最大值．

3 . 如图，平面与圆柱相交，而且平面与圆柱的轴不垂直，点为平面与圆柱表面交线上的任意一点，则点的轨迹为__________.在圆柱内部放置两个半径与圆柱底面半径相同的球，平面分别与两球切于两点，过点作圆柱的母线，分别与两球切于两点，记线段长度为，线段长度为，且.在平面内的任意两条互相垂直的切线的交点为，建立适当的坐标系，则动点的轨迹方程为__________.

4 . 对于函数，记，，，…，，其中.
(1)若函数是一次函数，且，求的最小值；
(2)若，且，求；
(3)设函数（），记，，若，证明：.

5 . 已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标；
(3)过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上.

6 . 已知，，P点满足．
(1)求点P的轨迹的方程，并说明是何图形；
(2)设T为直线上一点，直线TO，TA分别与相交于点B，C，求四边形面积S的最大值．

7 . 定义函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意恒成立，求k的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由．
（注：…是自然对数的底数）

8 . 山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，且以为圆心、为半径的圆分别交，于，两点，点是劣弧上的动点，其中，则（       ）

A．弧上存在点，使得与所成的角为

B．弧上存在点，使得平面

C．当时，动线段形成的曲面面积为

D．当时，以点为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为

10 . 已知函数的图象可由函数（且）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且.
(1)求的值；
(2)若函数，证明：；
(3)若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数的取值范围.