1 . 设函数
，
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若总存在两条直线和曲线
与
都相切，求
的取值范围.
，.(1)求函数
的单调区间；(2)若总存在两条直线和曲线
与都相切，求的取值范围.
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2 . 已知函数
，若数列
的各项由以下算法得到：
①任取
（其中
），并令正整数
；
②求函数
图象在
处的切线在
轴上的截距
；
③判断
是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令
，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列的项依次为
．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：
；
(2)是否存在实数
使得为等差数列，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．参考数据：
．
，若数列的各项由以下算法得到：①任取
（其中），并令正整数；②求函数
图象在处的切线在轴上的截距；③判断
是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；④令
，返回第②步；⑤结束算法，确定数列
的项依次为．根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：
；(2)是否存在实数
使得为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考数据：．
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3 . 已知抛物线
，直线
与抛物线
交于不同的两点
为坐标原点．
(1)若
，求证：直线过定点；
(2)若直线的方程为
，且与
轴交于点
，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点
作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点
时，总有直线
也与圆相切？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由．
，直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点．(1)若
，求证：直线过定点；(2)若直线
的方程为，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
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4 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，
的导函数分别为
，
，且
，则
；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数为区间
上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明
不是区间
上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)记
，
；求证：
.
，的导函数分别为，，且，则；②设
，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明
不是区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：
；(3)记
，；求证：.
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2024-04-18更新
|
461次组卷
|
6卷引用：四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题广东省广州市天河中学高中部2023-2024学年高二下学期基础测试数学试题（已下线）模块五 专题5 全真拔高模拟5（人教B版高二期中研习）广东省广州市天河中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（已下线）专题14 洛必达法则的应用【练】
解题方法
5 . 已知函数
.
(1)求曲线在点
处的切线方程；
(2)若，
，且
，证明：
.
.(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)若
，，且，证明：.
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2024-04-15更新
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1155次组卷
|
3卷引用：四川省雅安市2024届高三下学期4月联考数学（理）试题
6 . 设函数
，
．
(1)若函数在区间
是单调函数，求
的取值范围；
(2)设
，证明函数在区间
上存在最小值
，且
，．(1)若函数
在区间是单调函数，求的取值范围；(2)设
，证明函数在区间上存在最小值，且
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名校
7 . 已知函数
，
(1)讨论
时函数在
上的单调性；
(2)当
时，若
对于任意
恒成立，求的取值范围．
，(1)讨论
时函数在上的单调性；(2)当
时，若对于任意恒成立，求的取值范围．
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8 . 如图，抛物线
与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点
，与轴交于点
，
.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设
是第四象限内抛物线上的点，连接
.
①求点的坐标；
②连接
，若点
是抛物线上不重合的两个动点，在直线
上是否存在点
（点
按顺时针方向排列，点
按顺时针排列），使得
且
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，. (1)求抛物线的解析式；
(2)设
是第四象限内抛物线上的点，连接.①求点
的坐标；②连接
，若点是抛物线上不重合的两个动点，在直线上是否存在点（点按顺时针方向排列，点按顺时针排列），使得且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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9 . 如图，在平面直角坐标系中，直线
经过点
，与轴正半轴交于点，与反比例函数
交于点，且
轴交反比例函数于点.
(1)求
的值；
(2)如图1，若点为线段
上一点，设的横坐标为
，过点作
，交反比例函数于点
.若
，求的值.
(3)如图2，在（2）的条件下，连接
并延长，交轴于点
，连接
，在直线上方是否存在点
，使得
与
相似（不含全等）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且轴交反比例函数于点. (1)求
的值；(2)如图1，若点
为线段上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点.若，求的值.(3)如图2，在（2）的条件下，连接
并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似（不含全等）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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名校
10 . 已知集合
（
）.对于
，
，定义
；
（
）；与之间的距离为
.
(1)当
时，设
，
.若
，求
；
(2)证明：若
，且
，使
，则
；
(3)记
.若
，且
，求
的最大值.
（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为.(1)当
时，设，.若，求；(2)证明：若
，且，使，则；(3)记
.若，且，求的最大值.
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