1 . 已知，.
(1)求在上的最小值；
(2)求曲线在处的切线方程，并证明：，都有；
(3)若方程有两个不相等的实数根，，求证：.

3 . 已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式有且只有两个整数解，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个实数根，且，求证：．

4 . 设数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)解关于的不等式：；
(3)若，求证：数列前项和小于．

5 . 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，对于数列，若，下列说法正确的是（       ）

A．存在的等比数列，使得为等比数列

B．，均存在等差数列，使得为等差数列

C．，均不存在等比数列，使得为等差数列

D．若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为

6 . 已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
(1)已知，写出所有的，使得；
(2)已知，若，并且，求的最大值；
(3)设集合中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证

9 . 已知函数.
(1)若函数有两个极值点，求的取值范围；
(2)若对，函数恒成立，求的取值范围；
(3)证明：对，.

10 . 如图，对于曲线，若存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在处的导数（即曲线在点的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径.

   

(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)（i）求证：平面曲线在点的曲率半径为（其中表示的导函数）；
（ii）若圆为函数的一个曲率圆，求圆半径的最小值；
(3)若曲线在处有相同的曲率半径，求证：.