1 . 已知函数
．
(1)讨论函数
在
上的单调性；
(2)当
时，
①判断函数的零点个数，并证明．
②求证：
．
．(1)讨论函数
在上的单调性；(2)当
时，①判断函数
的零点个数，并证明．②求证：
．
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解题方法
2 . 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当
内一点
满足条件
时，则称点为的布洛卡点，角
为布洛卡角．如图，在中，角
所对边长分别为
，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
．求证：
①
（
为的面积）；
②为等边三角形．
(2)若
，求证：
．
内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
．求证：①
（为的面积）；②
为等边三角形．(2)若
，求证：．
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2024-04-24更新
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638次组卷
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3卷引用：江苏省常州市教育学会2023-2024学年高一下学期4月学业水平监测数学试题
名校
3 . 已知函数
，其中
，
．
(1)若n＝8，
，求
的最大值；
(2)若
，求
；（用n表示）
(3)若
，求证：
．
，其中，．(1)若n＝8，
，求的最大值；(2)若
，求；（用n表示）(3)若
，求证：．
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名校
解题方法
4 . 有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为
，古堡乙闯关成功的概率为
.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为
，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为
；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为
.
(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第
局选择古堡甲闯关的概率为
，第局闯关成功的概率为
.
（i）求和的表达式；
（ii）当
时，求证：
.
，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为.(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第
局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为.（i）求
和的表达式；（ii）当
时，求证：.
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名校
解题方法
5 . 已知椭圆
经过
和
，
分别为椭圆的左顶点、右顶点、上顶点.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过
轴上点
（点在椭圆长轴上）作直线交椭圆
两点，且
，若
，求
点的坐标；
(3)过点
作直线交椭圆于点，交直线
于
，直线
于轴相交于
，求证:
为定值，并求此定值.（其中
分别为直线
和直线l，
的斜率）.
经过和，分别为椭圆的左顶点、右顶点、上顶点.(1)求椭圆
的标准方程；(2)过
轴上点（点在椭圆长轴上）作直线交椭圆两点，且，若，求点的坐标；(3)过点
作直线交椭圆于点，交直线于，直线于轴相交于，求证:为定值，并求此定值.（其中分别为直线和直线l，的斜率）.
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解题方法
6 . 已知函数
有两个零点
．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
有两个零点．(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：
；(3)求证：
．
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7 . 已知双曲线
的左顶点
，一条渐近线方程为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设双曲线的右顶点为
为直线
上的动点，连接
交双曲线于
两点（异于
），记直线
与轴的交点为．
①求证：为定点；
②直线交直线于点，记
．求证：
为定值．
的左顶点，一条渐近线方程为．(1)求双曲线
的标准方程；(2)设双曲线
的右顶点为为直线上的动点，连接交双曲线于两点（异于），记直线与轴的交点为．①求证：
为定点；②直线
交直线于点，记．求证：为定值．
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2023-11-09更新
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885次组卷
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3卷引用：江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题
江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题江苏省淮安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题03 圆锥曲线题型全归纳（九大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）
名校
解题方法
8 . 意大利画家达
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数
的图象，定义双曲正弦函数
，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：
，②倍元关系：
．
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：
．
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．(1)求曲线
在处的切线斜率；(2)（i）证明：当
时，；（ii）证明：
．
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2024-04-18更新
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512次组卷
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5卷引用：江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（已下线）模块一 专题6 导数在不等式中的应用B提升卷（高二人教B版）江苏高二专题03导数及其应用广西梧州市、忻城县2024届高中毕业班5月仿真考试数学试卷河南省南阳市淅川县第一高级中学2024届高三下学期三模数学试题
名校
9 . 已知
，
为实数．
(1)若
，求的值，并讨论
的单调性；
(2)若
时，
，求实数的取值范围；
(3)当
时，若
，且在
处取极值，求证：
，为实数．(1)若
，求的值，并讨论的单调性；(2)若
时，，求实数的取值范围；(3)当
时，若，且在处取极值，求证：
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名校
解题方法
10 . 已知定义在
上的函数的导函数为
，若
对任意
恒成立，则称函数为“线性控制函数”.
(1)判断函数
和
是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设
为函数图像上互异的两点，设直线
的斜率为
，判断命题“
”的真假，并说明理由；
(3)若函数为“线性控制函数”，且是以
为周期的周期函数，证明：对任意
都有
.
上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.(1)判断函数
和是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数
为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；(3)若函数
为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.
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2023-05-05更新
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717次组卷
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6卷引用：模块一 专题4 《导数在不等式中的应用》B提升卷（苏教版）
（已下线）模块一 专题4 《导数在不等式中的应用》B提升卷（苏教版）上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题4 导数在不等式中的应用（B）（已下线）模块三 专题2 新定义专练【高二下人教B版】上海市七宝中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）黄金卷02
