1 . 新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 位密切关联者与之接触（而这个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为．
（1）求一天内被感染人数的概率的表达式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与位密切关联者接触．从某一名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第天新增患者的数学期望记为．
①当，，求的值；
②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式．当 取得最大值时，计算所对应的和所对应的 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取）．
（参考数据：，，， ，，计算结果保留整数）

2 . 设是偶函数，且当时，
（1）当时，求的解析式；
（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式；
（3）若方程有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求与满足的条件．

3 . 已知曲线（其中为自然对数的底数）在处切线方程为.
（Ⅰ）求，值；
（Ⅱ）证明：存在唯一的极大值点，且.

4 . 已知（）
（1）若对恒成立，求实数a范围；
（2）求证：对，都有.

5 . 某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．

（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为X_n．
①求随机变量X₁的概率分布及数学期望E（X₁）；
②求随机变量X_n的数学期望E（X_n）关于n的表达式．

6 . 王者荣耀是一款风靡全国的MOBA手游，其中上官婉儿的连招“2133333”能画出一个五边形，体现数学之美.如图所示，凸五边形ABCDE，，△BDE是以BD为斜边的等腰直角三角形，若△ABE是以BE为斜边的等腰直角三角形，P在线段BD上运动，则tan∠APE的取值范围是____.

7 . 已知函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于点对称.若实数a，b满足，则当时，的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 已知函数的最小值为2.
（1）求a的值以及f（x）的单调区间；
（2）设，n∈N^*，证明：.

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

10 . 设 （，）．
（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k的值；
（2）设（），且各项系数，，，…，互不相同．现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n列n个数．设是第i列中的最小数，其中，且i，．记的概率为．求证：．