1 . 已知数列，，，若数列、都是等比数列，公比分别是、，设是数列的前项和，数列是的零点按从小到大的顺序排成的数列.
（1）求数列的通项公式，并证明：；
（2）证明：，有.

2 . （Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且．求的最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设为正有理数．若，则；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
注：当为正有理数时，有求导公式．

3 . 我们称满足：（）的数列为“级梦数列”.
（1）若是“1级梦数列”且，求和的值；
（2）若是“1级梦数列”且满足，，求的最小值；
（3）若是“0级梦数列”且，设数列的前项和为，证明：（）.

4 . 已知数列，，且．
（1）若的前项和为，求和的通项公式
（2）若，求证：

5 . 已知无穷数列，，满足：，，，．记（表示个实数，，中的最大值）．
（1）若，，，求，的可能值；
（2）若，，求满足的的所有值；
（3）设，，是非零整数，且，，互不相等，证明：存在正整数，使得数列，，中有且只有一个数列自第项起各项均为．

6 . 已知数列是无穷数列，满足.
（1）若，，求，，的值；
（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得.

7 . 设是偶函数，且当时，.
（1）当时，求的解析式；
（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式；
（3）若方程有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求与满足的条件.

8 . 若定义在上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.
（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值.
（2）在（1）的条件下，定义数列求的值.
（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.

9 . 已知函数，.
（1）判断函数在区间上的零点的个数；
（2）记函数在区间上的两个极值点分别为，，求证：.

10 . 平面向量，，满足，（且），则的取值范围是___________.