1 . 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为________.若点Р在圆上，则的最小值是__________.

2 . 已知中，，若所在平面内一点满足，则的最大值为_______.

3 . 已知中，，以AB为一边向外作等边三角形ABD（如图所示），且.当时，的值为______，当时，求的值为______.

4 . 设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为__________．

5 . 已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为______.

6 . 如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为__________．

   

7 . 关于的不等式恒成立，则的最小值为__________．

8 . 在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是__________．

9 . 已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为___________．

10 . 已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围______．