2024高一下·上海·专题练习
1 . 某同学用“五点法”画函数
，
在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
(1)请填写上表的空格处，并写出函数
的解析式；
(2)将函数的图象向右平移
个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，求
的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，若
在
上恰有奇数个零点，求实数
的值.
，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： |  |  |  | ||
 | 0 |  |  |  |  |
 | 0 | 1 | 0 |  | 0 |
| 0 |  | 0 |  | 0 |
(1)请填写上表的空格处，并写出函数
的解析式；(2)将函数
的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间；(3)在（2）的条件下，若
在上恰有奇数个零点，求实数的值.
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解题方法
2 . 已知数列
满足：
，
，其中
为数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列
（
），对任意正整数k，当
时，都有
成立，求m的最大值．
满足：，，其中为数列的前n项和．(1)求数列
的通项公式；(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列
（），对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值．
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3 . 已知椭圆
，
分别是椭圆的左、右焦点，
是椭圆上的动点，直线
交椭圆于另一点
，直线
交椭圆于另一点
．
(1)求
面积的最大值；
(2)求
与
面积之比的最大值．
，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．(1)求
面积的最大值；(2)求
与面积之比的最大值．
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4 . 已知函数
，若对于任意的实数
都能构成三角形的三条边长，则称函数
为
上的“完美三角形函数”.
(1)记在上的最大值、最小值分别为
，试判断“
”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明；
(2)设向量
，若函数
为
上的“完美三角形函数”，求实数
的取值范围；
(3)已知函数
为
（
为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数
的图象上，是否存在不同的三个点
，它们在以轴为实轴，
轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为
，满足
，且
？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由.
，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.(1)记
在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明；(2)设向量
，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；(3)已知函数
为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由.
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解题方法
5 . 在平面直角坐标系中，过直线
上任一点
作该直线的垂线
，
，线段
的中垂线与直线交于点．
(1)当在直线
上运动时，求点的轨迹
的方程；
(2)过向圆
引两条切线，与轨迹的另一个交点分别
①判断：直线
与圆
的位置关系，并说明理由；
②求周长的最小值．
上任一点作该直线的垂线，，线段的中垂线与直线交于点．(1)当
在直线上运动时，求点的轨迹的方程；(2)过
向圆引两条切线，与轨迹的另一个交点分别①判断：直线
与圆的位置关系，并说明理由；②求
周长的最小值．
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6 . 已知函数 
.
(1)记函数
，求函数
的极大值点;
(2)记函数
，讨论函数
的零点个数.
.(1)记函数
，求函数的极大值点;(2)记函数
，讨论函数的零点个数.
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解题方法
7 . 已知点分别为椭圆
的左、右焦点，过
的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，
．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且面积的最大值为
，直线
与直线
相交于点M，求
的取值范围．
分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，．(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且
面积的最大值为，直线与直线相交于点M，求的取值范围．
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解题方法
8 . 已知函数
，将
的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移
个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数
的图象．
(1)求函数的单调递增区间，并写出函数的解析式；
(2)关于的方程
在
内有两个不同的解
；
①求实数的取值范围；
②用的代数式表示
的值．
，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象．(1)求函数
的单调递增区间，并写出函数的解析式；(2)关于
的方程在内有两个不同的解；①求实数
的取值范围；②用
的代数式表示的值．
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9 . 已知定点
，动点N在直线
上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P、A、B是曲线C上的点，且
．
（i）若点P的坐标为
，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；
（ii）若
，求面积的最小值．
，动点N在直线上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P、A、B是曲线C上的点，且
．（i）若点P的坐标为
，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；（ii）若
，求面积的最小值．
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解题方法
10 . 如图，设
中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为
的中点，已知
，的面积为
.
，求
的值；
(2)点E，F分别为边，
上的动点，线段
交
于点
，且
，
（
为锐角），记
的面积为
，有
，求
的最小值
中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为的中点，已知，的面积为.
，求的值；(2)点E，F分别为边
，上的动点，线段交于点，且，（为锐角），记的面积为，有，求的最小值
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