1 . 已知数列
的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前
项和为
，且满足
(1)求
；
(2)求数列的通项公式及数列的前2k项和
;
(3)在数列中，是否存在连续的三项
，按原来的顺序成等差数列?若存在，求出所有满足条件的正整数
的值;若不存在，说明理由
的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足(1)求
；(2)求数列
的通项公式及数列的前2k项和;(3)在数列
中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列?若存在，求出所有满足条件的正整数的值;若不存在，说明理由
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63次组卷
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2卷引用：上海市吴淞中学2023-2024学年高二下学期第二次调研（5月）数学试卷
2 . 如图，已知椭圆
的方程为
，点
、
分别是椭圆的左、右顶点，点
的坐标是
，过点的动直线
交椭圆于点
、
（点的横坐标小于点的横坐标）．焦点的坐标；
(2)是否存在常数
，使
为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当设直线的斜率不为
时，设直线
与
交于点
．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题．
（备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．）
的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）．
焦点的坐标；(2)是否存在常数
，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)当设直线
的斜率不为时，设直线与交于点．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题．（备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．）
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解题方法
3 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：
（
，
）的左、右焦点分别为
、
，
是双曲线C上一点，且
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为
、
，求证：
为定值.
（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且.(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为
、，求证：为定值.
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23-24高二下·上海·期末
解题方法
4 . 已知椭圆
，抛物线
.若直线与曲线
交于点、，直线与曲线
分别交于点、
．当
时，则称直线是曲线与的“等弦线”．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程；
(3)已知点
，
，证明：过点
存在与的“等弦线”．
，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”．(1)求椭圆
的离心率；(2)直线
同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程；(3)已知点
，，证明：过点存在与的“等弦线”．
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解题方法
5 . 设定义域为
的函数
在上可导，导函数为
.若区间
及实数
满足：
对任意
成立，则称函数为上的“
函数”.
(1)判断
是否为
上的
函数，说明理由；
(2)若实数满足：
为
上的函数，求的取值范围；
(3)已知函数存在最大值．对于：：对任意
与
恒成立，：对任意正整数
都是上的
函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论.
的函数在上可导，导函数为.若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”.(1)判断
是否为上的函数，说明理由；(2)若实数
满足：为上的函数，求的取值范围；(3)已知函数
存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论.
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6 . 已知椭圆：
的左右焦点为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的点．
(1)求
的周长；
(2)若过的直线
与椭圆交于
、
两点，且
，求的值；
(3)若直线过点且与
轴垂直，直线交直线于点，判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．
的左右焦点为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的点．(1)求
的周长；(2)若过
的直线与椭圆交于、两点，且，求的值；(3)若直线
过点且与轴垂直，直线交直线于点，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
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7 . 已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线为轴，求
的值；
(2)讨论
在区间
内的极值点个数；
(3)若在区间内有零点，求证：
．
．(1)若曲线
在点处的切线为轴，求的值；(2)讨论
在区间内的极值点个数；(3)若
在区间内有零点，求证：．
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解题方法
8 . 已知数列满足：①
；②当
时，
；③当
时，
，记数列的前项和为.
(1)求
的值；
(2)若
，求的最小值；
(3)求证:
的充要条件是
.
满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为.(1)求
的值；(2)若
，求的最小值；(3)求证:
的充要条件是.
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9 . 已知，
是实数，1和
是函数
的两个极值点
(1)求，的值.
(2)设函数
的导函数
，求的极值点.
(3)设
其中
求函数
的零点个数.
，是实数，1和是函数的两个极值点(1)求
，的值.(2)设函数
的导函数，求的极值点.(3)设
其中求函数的零点个数.
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10 . 已知
，椭圆
，点
是该椭圆的右焦点，过点
的直线与椭圆
交于不同的
两点.
(1)当
且的斜率为1时，求
；
(2)当
时，求
的取值范围；
(3)是否存在实数
，使得对于任意的直线、
都不是直角三角形.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的两点.(1)当
且的斜率为1时，求；(2)当
时，求的取值范围；(3)是否存在实数
，使得对于任意的直线、都不是直角三角形.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
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