1 . 绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对该批次汽车随机抽取100辆进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若单次最大续航里程在到的汽车为“类汽车”，以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中为“类汽车”的数量为，求.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，方格图上标有第0格､第1格､第2格､､第30格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第29格（胜利大本营）或第30格（失败大本营）时，游戏结束.已知遥控车在第0格的概率为，设遥控车移到第格的概率为，试证明：数列是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车？

2 . 已知函数，.
(1)证明：对，；
(2)若关于的方程有两个实根，且，证明：.

3 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点x₁，x₂，证明：，并指出a的取值范围．

4 . 平面直角坐标系中，过点的动直线l与抛物线交于A，B两点且．
(1)求t的值；
(2)若点M在x轴上且，在x轴上是否存在确定的点P，使得当动直线l不与x轴垂直时，恒有．若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

5 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线，
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；
(2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ
(3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值.

6 . 已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求函数图象在处的切线方程；
(2)若不等式对任意的恒成立，求a的最大整数值．

7 . 已知（且）是上的奇函数，且.设.
(1)求，的值，并求的值域；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.

8 . 已知函数.
(1)求函数在上的极值；
(2)若对，都有成立，求实数的取值范围.

9 . 在平面直角坐标系中抛物线经过点、、，已知，.

   

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，为线段上一点，过点作轴平行线，交抛物线于点，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为，轴于点，是线段上一动点，是轴上一动点，若，直接写出实数的取值范围.

10 . 在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，设动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设，垂直于x轴的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AP和曲线C交于另一点D，过点作直线BD的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．