1 . 设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.
(1)求动点D的轨迹E的方程；
(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.

2 . 设函数，已知是函数的极值点．
(1)求a的值，并求函数的单调区间；
(2)若，求证：．

4 . 某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
(1)求的分布列与数学期望；
(2)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.

5 . 已知函数，．
(1)若在上的值域为，求的值；
(2)若关于的不等式只有一个正整数解，求的取值范围．

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.

7 . 已知函数．（e为自然对数的底数）
(1)当时，证明存在唯一的极小值点，且；
(2)若函数存在两个零点，记较小的零点为，s是关于x的方程的根，证明：．

8 . 设函数，其中.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若，求函数的最大值.

9 . 已知函数
(1)当，求的最小值；
(2)令，若存在，使得，求证：.

10 . 已知函数.
(1)当时，证明：当时，.
(2)当时，对任意的都有成立，求的取值范围.