1 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数存在正零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记为的极值点，证明：.

2 . 如图，在四棱锥中，，，平面平面为中点．

   

(1)求证：平面；
(2)点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．

3 . 已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

6 . 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：

年龄	周平均锻炼时长		合计
	周平均锻炼时间少于4小时	周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下	40	60	100
50岁以上（含50）	25	75	100
合计	65	135	200

(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

参考公式及数据：，其中.

7 . 在直三棱柱中，在上，且．

   

(1)证明：；
(2)当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．

8 . 已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，求a的最小整数值.（参考数据：）

9 . 如图，四边形为菱形，平面．

   

(1)证明：平面平面；
(2)若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．

10 . 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)直线与交于两点，
（i）求面积的最大值；
（ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程．